許多頂尖大學雖然沒明說，但都更喜歡工程、物理、計算機科學和經(jīng)濟學等課程的學生拿到數(shù)學A*。能學好Alevel數(shù)學，被視為學生可以分析和解決復雜問題能力的證明。
我們今天的主題就探討：普通學生怎么在Alevel數(shù)學中獲得A*？
首先我們先來了解一下進階數(shù)學。進階數(shù)學一共分為4個paper，包括Further Pure Mathematics1, Further Pure Mathematics2, Further Mechanics, Further Probability & Statistics。
在AS階段，學生可以根據(jù)自己學校的要求選擇FP1和進階統(tǒng)計，或者FP1和進階力學進行學習；在AL階段，我們就可以學習另外兩門paper啦。通常學校會建議在AS階段學習統(tǒng)計，統(tǒng)計相對比力學要更好上手，計算復雜度更小。
圖片源于CAIE官方大綱
那么每個Paper怎么考呢？FP1和FP2的卷面分數(shù)均為75分, 考生要求在2h內回答完成十余道大題。Further Mechanics和Further Statistics為50分，答題時間1.5h。
根據(jù)官方Syllabus，F(xiàn)P1覆蓋了關于多項式，數(shù)列，矩陣，極坐標，向量以及數(shù)學歸納法，而FP2重點則學習雙曲方程，復數(shù)和微分方程，同時拓展并深入了微積分和矩陣。很多同學好奇：FP1和2的難度是不是差距特別大??？
小編認為，在知識點上FP2的確需要更“深厚”的微積分能力，而且在解決像微分方程，復數(shù)等問題的時候需要的步驟和理解更加繁瑣。但是FP1和FP2大部分的知識點并沒有重合，因此雖然計算難度和理解難度大了一點，并不會存在像“同是解二次方程，突然從2x+7=y變成了超級復雜的行程問題”的落差。
statistics則更重視“方法論”，根據(jù)不一樣的情況，我們會學習不同的hypothesis tests。mechanics更加靈活，簡單來說是把物理的力學問題模型化，研究一些像平衡，圓周運動，撞擊等問題。總之，FM學的還是相當?shù)亩?，相當?shù)撵`活！
拿捏考試第二步：
行軍大局的general tips
接下來要說的tips適用于FurtherPure和Statistics。先說FM考試的特點，我覺得總體很“套路化”和“公式化”。“套路化”是學習的每個知識點只有相對應的幾種考法，并且每次考試的題型統(tǒng)一。大家可以做好FM一共學了幾個章節(jié)卷子就會出幾道題的準備：一個章節(jié)的知識點對應著一道題。
舉個例子吧，在FP2學習matrix的時候，我們學習了Eigenvector和Eigenvalue的求法，那考試對應的就是直接問如何從一個已知的3*3矩陣中求這兩個，學到的知識點都會以最直接的形式考你！
“公式化”則是在考場的時候更加注重如何去解而不是為什么。比如，在integration章節(jié)我們涉及了極坐標下的各種圖形的面積和翻轉體積，考試的時候會直接讓我們利用公式解題而不強調推導過程。同學們聽了肯定覺得：這不易如反掌了！
根據(jù)這兩個總體的特點，我認為唯二的應對策略就是重視學習基礎+多刷題多總結。下面我總結了學習的幾個step：
如果是跟著學校學，課堂永遠放在number1！如果是自學，課本永遠是最靠譜的！我的學校老師講解是完全按照課本邏輯的，比如說，在FP1的polar極坐標中分為3個小節(jié)，分別是認識polar coordinate，畫圖，以及算面積。實際上，最后的FP1考試中極坐標也會只考察這三個知識點。
所以我一直秉承著教材為本的邏輯，考生可以很明確的知道每個章節(jié)要掌握的內容。對于市面上的各種notes我一直持有懷疑態(tài)度，建議初學者謹慎使用。
還以Polar這章為例，我們都清楚以下當之無愧歸屬于筆記（教我們如何做Polar和Cartesian的方程轉換）
圖片為小編整理筆記
那做題呢？幾乎每一個知識點下面都對應著examples和solutions。這也就無形中教我們如何把上面記的一大串文字轉化成考試可以利用的“方法論”。這部分“方法論”也應該記在筆記中，作為做題的指導方針。
圖片為小編整理筆記
在做完worked example之后，建議大家直接從真題里找題。比如說以May/June 2023的FP1為例子，就像我之前說的，只會有1-2道題出現(xiàn)polar的知識點，所以很容易提取出chapter questions。
我們會發(fā)現(xiàn)，sketch的題不就對應著書中的5.2-sketching curve with polar coordinates, area的題就對應著5.3。這種很直接的1V1對應讓我們可以點對點的檢驗知識點是否學習完善。比如，在學完sketch做完worked example之后，就可以去模仿學習過的方法論去挑戰(zhàn)真題了。
圖片為CAIE May/June 2023FP1真題
當然，尤其對于自學的同學們，如果大家有時間可以整理一個自己的習題冊。比如說在學完polar的第三部分area之后，我們在past paper中提取出來很多有關此的題目放到合集中，就像這樣。久而久之，你就會收獲自己整理的一套chapter questions！
在學完每一個chapter之后都要復習！就以matrix來說吧，你要知道行列式，inverse等等應該怎么求，小的知識點非常繁瑣。所以我還是建議同學們用最直接的思維導圖的方式捋清楚知識點之間的關系。
如果在學完一個chapter之后整理出這樣的一份思維導圖和上面提到的worksheet，那么在最終大考復習的時候，要解決的就是根據(jù)思維導圖的分支去對應相應的worksheet，這不分分鐘有了復習攻略。
圖片為小編整理筆記
當然，說完高數(shù)非?？煽氐牟糠?，再說說它讓人“恨”的部分——知識點多而且碎；對于初學者解決問題的步驟繁雜，不好入手；積分部分計算量太大。
知識點多和碎倒是恰恰好可以用思維導圖的方法解決。步驟繁雜不好入手屬further statistics體現(xiàn)的最明顯，就以further stats中的Non-parametric tests為例，里面我們學習了Wilcoxon signed-rank test，the Wilcoxon rank-sum test，其中又分為paired-sample sign test，Wilcoxon matched-pairs signed-rank test等等，捋清楚什么樣的情況用什么test倒是可以用思維導圖解決，那具體的步驟呢？
我的建議是運用“照貓畫虎”的方法。比如，你可以先找到一個標準的用Wilcoxon matched-pairs signed-rank test的題目和答案，再在past paper中利用matched-pairs關鍵詞找一道真題。學著solution的方法，一步一步應用到自己的題目中。
不光Further statistics中可以這樣，再比如FP2中的微分方程，second order的步驟一樣非常繁瑣，難以記憶。那就還像上面一樣沿著sample question的思路，一步一步運用到真題中。就這樣不怕麻煩的“照貓畫虎”，你就能更熟練的解題！
積分的計算真是太難算了！！同時他又遍布在所有的章節(jié)里面，FP1是要求我們掌握p3的各種積分方法的，所以你將會在polar算面積中收獲一大堆復雜的積分運算。FP2則會系統(tǒng)的學習積分的很多種新方法，同樣，在integration的章節(jié)中會大面積的考察。
積分還是強調熟練度和方法性，對于正在學FP1的同學，建議大家先學習p3的integration部分，并且按部就班的把書中的習題做完。同時可以養(yǎng)成總結積分的習慣，將paper中比較難或者常用的積分總結并記下來（就像這樣），主打就是培養(yǎng)一個“眼熟”。正在學FP2的同學，inte是重災區(qū)，建議秉持著能多練習就多練習的心態(tài)（刷完書本中的example，甚至去求解一些integration bee中的問題）。
圖片為小編整理筆記
有些同學可能說FP和stats的大概學習方法和重難點已經(jīng)明白了，那進階力學腫么辦？
mechanics相比于知識點的熟練掌握，還是更注重學生如何靈活的做題。就以FM的circular motion這個章節(jié)為例子，知識點就是向心力，向心加速度怎么算等，但是實際上你將會收獲一堆有關string以奇奇怪怪的方法轉的考題。所以學習并不是重點，勤于應用才是！
在每個章節(jié)結束之后，大家可以直接去past paper中找題刷，這里不光光要利用到“照貓畫虎”的方法，也要懂得一個叫“ingredients”的方法。比如說以hookes law這章節(jié)為例子，我們可以如何描述一個string/spring/小球的運動呢，無非就是彈性系數(shù)，彈簧伸長量，彈簧上的受力，而他們都是互相可以用公式轉化的。所以我們的老師也一直強調用已知求未知的方法一步步推進。先解決幾個未知量，再挪向答案！
適合的才是最好的：
每個paper的重難點&應對策略
大概的學習步驟和方法就講完了，下面來預告一下有什么難的章節(jié)和應對方法。
對于FP1來說，前三章都不算難，和pure的銜接還相對緊密。第一個難點出現(xiàn)在polar coordinates，知識點很少，但是area的部分需要大量的積分運算，如果是剛剛學完p1，那需要先補充integration的知識再去學習這部分。
第六章vector也是一個大考點（難點），基本的知識很簡單，但是straight line和plane的方程如何求解，以及如何求解各種distance的問題還是很繁瑣的。應對策略是用思維導圖的方法理清楚考點，更重要的是，不要指望著能完全背下來distance公式，一定一定注重推導的過程。
第二章矩陣，可以算是一個難點，考試的時候出現(xiàn)的分數(shù)也很多。他的難點在于信息量特別特別大，并且基于FP1的矩陣做擴展。應對的方法是在學習FP2的矩陣之前抽時間復習FP1的內容，熟練的會算inverse，行列式和基礎的計算。
學習的時候一定要用思維導圖的形式進行整理，理清楚eigenvalue，eigenvector，diagonalisation，以及diagonalisation的拓展應用之間的關系。并且要不厭其煩地“照貓畫虎”的刷題才能熟練掌握。
第四章integration，首先是加入了一大批新的integration并且要求我們熟練掌握像substitution這樣的方法，熟練工比啥都重要！reduction formula是一個大大的難點，難點在于by parts分部積分不知道如何分才合理。這塊需要我們懂得觀察法，從需要求證的結果入手，反手推出如何合理的by parts。二話不說，咱們還是多做做題吧。
第六章de和matrix有異曲同工之妙，知識點超級多，并且還需要背誦second order的PI。應對策略還是思維導圖和“照貓畫虎”，學習的時候一定要理解particular integral（PI）和complementary function（CF）是什么，不然步驟背誦的有點像背天書。
Further Stats其實有點像“背書”?？傊}目中會給你一種場景，大家根據(jù)題目選定合適的hypothesis test。第二章節(jié)normal and t-distributions剛學習起來會有些理解上的困難，需要花時間去認識什么是hypothesis test以及背后的邏輯，但在“入門”之后學習別的檢驗方式就很輕松了！這部分建議大家在youtube上找一些normal distribution的視頻（khan academy的系列很不錯）
probability generating function將概率和函數(shù)進行結合，理解上也算是一個小難點。好在題目考察的方式統(tǒng)一，考刷題就夠了。
further mechanics堪稱是further math的計算天花板，很多的章節(jié)和al物理的syllabus重疊多，但是對定量計算要求更高。
第二章equilibrium of rigid body是一個大難點，我們需要算各種圖形的center of mass（formula booklet里面有公式）此章節(jié)還涉及到toppling和moment的問題，這對我們受力分析的能力以及找合適的moment的能力要求較高，只能通過多刷題來提高熟練度。
第四章hooke’s law有些題目結合了energy和circular motion，考察比較綜合。我認為這部分的知識難度不大，但是在做題的時候容易沒有突破口，建議大家可以通過整理題型的方式瞄準每道題的考察點（到底是用energy做題呢，還是kinematic）總之，F(xiàn)M就是帶著耐心刷題。
干貨就講到這啦。進階數(shù)學的內容雜，的確需要同學們比較有耐心，踏踏實實的學習。雖然被稱為“難度天花板”，但是希望大家看完這篇文章能更明確努力的方向。小小A*，速速拿下！
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