高中數學聯賽都考什么？附北京高聯一對一輔導培訓！

　　很多人都想知道，數學競賽高聯到底考些什么。如果用比較官方的說法，那就是：高聯主要考察學生在數學領域的創(chuàng)新能力、邏輯思維能力以及問題解決能力等多方面能力。但這種說法聽起來未免有些空泛，甚至顯得有些“套路化”，不夠具體，也很難讓人真正感受到高聯的考察重點。

　　那我們就來實際一點，直接看看高聯考試的考點范圍。

　　高聯一試考11道題(8道填空題+3道解答題)，試卷難題略微高于高考。一句話進行總結：你可以把高聯一試理解成最基礎的數競入門，也可以理解成更難的高考。其實說白了，這種難度的考試，它只是考察學生對于知識整理、歸納的一個過程。如果你系統(tǒng)性的學過數競，跟著教練刷了很多的題，那么高聯一試對你來說幾乎沒有難度，你唯一可能丟分的地方，也只有第8道填空題和最后一道解答題了，客觀來說，這兩道壓軸題，還是有一些強度的。有些二試考的還不錯的同學，也有可能在這兩道題上丟分。 一試的難或許不在題目本身，而在于考試時間太短。想要在80分鐘需要做出11道題，平均7分鐘一道，對于絕大多數參賽選手而言，在時間上都具有很大壓力

　　

高聯一試主要考察內容：“集合與函數”，主要注意一下函數最值問題，一般來說填空題會經常出現這一考點;然后是“數列”“三角函數”，當然這個也包括一些解三角形;再然后還可能會有“立體幾何”，“解析幾何”;此外，再就是“組合計數”，“復數”以及“向量”。

　　那么對于這些細小的知識板塊，我們在學習時應注意哪些呢?

　　高聯一試·數列

　　數列其實一般來講呢，更多是研究一種遞推數學。一試階段，圍繞遞推的考察是比較多的，例如“通過遞推求通項”，這是數列很重要的一個板塊，比如說出題人給了你一個遞推數列，你要知道這個遞推數列，怎么去求通項;當然有的時候也需要我們判斷，如何去求通項，這種題型是很常見的。然后這個求通項的話呢，一般而言我們會有一些基礎的這種分析策略，比較常見的是用“數列代換”，不斷的去往這種簡單的數列上面去靠。除此之外呢，這種數列問題，我們也可以考慮使用“數學歸納法”，你只要能猜出來數列通項，基本上你是可以用數學歸納法去歸納這個通項的。不過也有例外，因為有些遞推數列，我們是不太能去求通項的，這種情況下，我們可以直接用數列去做一些性質。這個時候我們往往是有兩種策略的：第一種，我們可以通過遞推關系去化簡表達式，說白了就是把這個遞推關系帶回去，帶到數列里面，看能不能把表達式做一點點整理，就比如說本來是一個“和式”，我?guī)б粋€替代關系出來，它說不定可以裂項，這樣就能變成一個比較簡單的式子;然后第二種策略，就是我們對這個遞推關系，做一定的估計，盡管直接求解求不出來，但是我們可以大概取用這種遞推關系去估一些“不等關系”或者“相等關系”。之后我們再用這個不等或相等的關系，再去做一些性質。

　　高聯一試·三角函數

　　三角函數這個板塊最大的一個特點：就是它公式很多，繞來繞去的，很容易在解題的過程中把自己給繞進去。所以在解三角函數題目的時候，我們第一個要注意的地方，是要熟悉這些公式。然后第二個要注意的，你在解題時要有對于三角函數變形的一個整體思路。

　　

 

　　可能有些同學在初學三角函數的時候會發(fā)現，很多時候三角函數的公式，做來做去都是一樣的。比如說，兩個數的乘積可以積化和差，和差之后，它是不是又可以和差化積?然后，和差化積以后你又可以積化和差。實際上你做來做去，都是在做一個東西，這樣子變形是沒有太多意義的。所以這個時候，我們更多要考慮這個三角函數內部的代換，就是說你要考慮這個三角函數在一個變形過程中，函數里面的變量的變換情況。這個往往是高聯一試考察的一個重點。

　　高聯一試·立體幾何

　　立體幾何本身其實是很難的一個東西，因為很多處理是比較復雜的。不過幸運的是在高聯一試的階段，如果出了立體幾何題，通常情況下不會特別難。一試階段，立體幾何的主要考查方向有兩個：第一個是包含一些立體幾何空間上的證明問題，這種題型最近幾年考的比較少了，而且也基本不會出解答題，難度不大;因此，立體幾何的第二個考察方向才是考生需要著重了解的，就是涉及空間量的一些計算。除此之外，對于立體幾何，還有一個分析策略，就是盡可能去把一個立體幾何平面問題，轉換成平面幾何，包括平時的期末考試、高考啊，去做這種立體幾何分析的時候呢，我們也可以考慮去借鑒平面幾何的分析策略：我們先假設把它當作一個平面幾何，然后去找一些性質，找到性質后，我們再轉換到立體幾何里面。

　　

 

　　舉個小例子：一個圖形里面有一個內切球，那我們可以先把它做到內切圓，然后看有沒有內切圓相關性質，如果有的話，那我們能不能再結合到內切球上面。其實說到底，數競比賽考的不只是題，同時出題人也在考察我們的思維，所以類似這樣的分析策略我們一定要熟練掌握。

　　高聯一試·解析幾何

　　在前面提到過，數競高聯一試由八道填空題和三道計算題構成。一般來說，計算題部分會圍繞一些硬核知識點進行出題，例如解析幾何。解析幾何的關鍵點是什么呢?說白了，對于解析幾何，多數同學都是能算的。就是你一定要考慮如何才能算更快，這個才是做解析幾何題的一個重點。解析幾何很忌諱把問題算得復雜。而是應該清楚什么東西該求，什么東西不該求。有些東西我們能不能簡單設出來，到后面再去消掉。“設而不求”是解決解析幾何問題較為基礎的技巧，也是解析幾何中一種出奇制勝的解題技巧，運用得好可以達到四兩撥千斤的效果。比較典型的例子，當我們在求解圓錐曲線的題目時，經常需要將圓錐曲線與直線聯立方程，并運用韋達定理算出“x1+x2”和“x1x2”，這實際上用的就是“設而不求”的方法。在近幾年的高聯考試中，“設而不求”的解題技巧也逐漸深入到導數的題目中，在求極值點的過程中往往求不出導函數等于0的方程的解，這時候我們經常借助“設而不求”的方法虛設零點，并針對該零點進行單調性的分析，將復雜的問題簡單化。“設而不求法”在課內老師就應該教過，學競賽的時候，各學校競賽教練大概率還會再講一遍，盡管如此，還是有很多同學掌握得不夠扎實，運用起來更談不上熟練。如果臨近高聯之時，你對解析幾何知識模塊還是掌握得一般，屆時你可以重點練習一下這種解題方法(當然，這也是沒辦法的辦法)。

　　高聯一試·導數/不等式

　　導數/不等式，在數競高聯一試是一個非常重要的考點，如果出現，往往是便以一道大題的形式出現(極小概率會出填空題)。

　　

 

　　在高聯一試的階段，導數考察的方向還是比較多的，比如可能和多項式函數建立起一定的關系，包括不等式也是，也可能和多項式函數建立起一些關系。不過在一試里，導數也好，不等式也好，考察的方式會更偏向于技術性，或者說技巧性。就是說，對于某個式子，我們先要思考如何變形，之后再考慮如何求導。這種類型的題，算是高聯一試里面相對來說比較難，但是也比較重要的一個重點內容。包括在強基考試里，這個東西也考了很多。例如零點問題、含參問題、最值問題。這些問題里面的很多操作，細節(jié)還是很多的，作為考生，我們一定要熟悉各種操作。舉一個典型的例子，就說e^s吧，這種量我們該怎么去處理，怎么樣能讓求導出的式子不是很復雜，作為數競生，這些技巧都是需要我們去掌握的。

　　高聯一試·函數

　　函數不僅性質多樣，什么單調性、奇偶性計算也比初中數學更加復雜，綜合性更強，而且更為關鍵的是，函數概念還很抽象。舉一個具體的例子，很多數競生在剛接觸到y(tǒng)=f(x)這種表達形式的時候，基本上腦子都是懵的。

　　在高中階段，函數是一個比較基礎的知識點，但又很關鍵，如果函數概念這一塊沒學透，那么后面的一次函數、二次函數、三角函數、反三角函數、對數函數、指數函數、冪函數、偶函數、奇函數等內容，基本上也是學不會的。早些年，大概在2015—2019年期間，高聯一試對于函數的綜合考察是非常常見的，考點多集中在函數的基本性質、冪指對函數、三角函數等。盡管最近兩年高聯對于函數的出題數量有所下滑，但競賽生仍無法忽視函數這一考點。

　　高聯二試呢

　　如果說，高聯一試，考生還能嘻嘻哈哈，那么到了二試，絕大多數競賽生絕對能體會到什么叫“江湖險惡”。高聯二試只考四道大題，對應的四個知識板塊分別是平面幾何、代數、數論和組合。且每道題都是壓軸中的壓軸。二試主要考察知識點模塊如下：

高聯二試·平幾 如果你是剛接觸數競的萌新，那么徐老師的建議是，大綱中的這些定理其實不用一個一個刻意去看，因為往后學習的過程中，你會很自然的接觸到這些內容。相對來說，平面幾何大致的出題方向可以分為兩類問題。第一類是直線型問題，第二個是圓類型問題。當然這兩個也不是完全割裂的，因為很多直線型問題里面也會出現圓，同時有一些圓類型的問題也會用到很多直線型問題的處理方式。徐老師個人認為學習幾何的過程中，應著重注意兩點：首先第一點，你要知道這種基礎的圖形結構，它的這些處理方式，這需要你熟知各種幾何定理。當然了，也不只是定理，因為有些東西它本身也不是定理;然后第二個，就是要善于去做圖形結構的分析，就是說你看到一個圖的時候，你要知道，這個圖它是怎么畫出來的。在高聯二試中，有些涉及到平面幾何的題，它的圖乍看之下是很復雜的。但是再復雜的圖形，它也是由一個一個簡單的圖形疊加到一起復合形成的。因此，你要做的，就是從局部嘗試去拆解，把一幅復雜的圖形拆分成多個簡單的圖形。

　　高聯二試·代數

　　

在高聯中，代數部分的出題難度上下限很大，經常會出現去年很難，但是今年又特別簡單的情況。一般來說，在高聯這個階段，代數的主要考點在于不等式和數列，這兩部分內容涉及到的形式比較豐富，也容易和其它代數問題，甚至其它模塊知識相結合。

　　這里有兩點需要注意：第一，多項式理論雖然也被列入高聯代數的考綱范圍之內，但它的難度較大，在高聯階段基本不會考，只有到了CMO才會出現;第二，除了多項式理論外，其它內容高中課內都會學習，只不過高聯對這一部分的難度要求、熟練度要求都更高。

　　基本上，在高聯階段，你代數這塊，把不等式學好，大致就可以了。但如果你要準備CMO的考試，則還要著重學一下復數、多項式、函數方程，如果你的目標只到省一，然后走強基的話，那上面考綱這些內容適當了解一下就行。

　　高聯二試·數論

　　不少同學在學習數論的時候，都表現得很畏懼。數論這個東西其實是這樣的，如果你剛接觸數論，你會覺得數論是一個很模糊的模塊，就是你會認為數論和你之前學的一些知識，不管是工具還是學習方法，或是處理方法，都不太一樣。但如果你數論入坑久了，學的還比較順利的話，數論反而是一個做題使用率比較高的東西。而且數論是不太會出很難的題目，它如果出很難的題目，它也會和別的內容做掛鉤，比如說和代數混在一起。數論更多的難點還是在于入手，多數人在前期學習數論的時候，都會有一種“不適應”的感覺，就是我前面說的“很模糊”，這個是正常的。這是由于我們初中階段，很多學校在數學教學中以代數和幾何為主，教材里很少涉及數論內容，老師也很少講，加之自己從前也幾乎沒怎么接觸過數論，所以你會覺得數論異常難學。不過當你摸清數論的門檻之后，你會發(fā)現數論其實并沒有想象的那么難，可能要比代數更容易學。

　　高聯二試·組合

　　組合問題，在高聯二試中往往是作為“壓軸題”出現的，非常具有難度。

　　

 

　　在高聯的階段，比較常見的組合問題可以歸納為兩個類：第一類叫組合計數問題，是基于課內“排列組合”的部分知識，進行拓展和擴充;第二類叫組合雜題，包括組合最值問題、組合構造問題、對策與操作等幾個主要類型。在高聯考試中，高聯一試會考較復雜的分類計數，高聯二試的考試一般以組合雜題為主，且難度很大，涉及范圍廣，形式靈活多變，對數學綜合分析的能力要求也更高。關于組合雜題，我們在學習的時候要做到了解基本的組合原理，并以此為基礎，拓展思考方法，積累常見的組合構造。基礎的組合原理有很多，并且理解起來也都不難，比如“抽屜原理”，國外叫“鴿籠原理”，類似這種概念的原理，理解起來是不難得，但真正的難點在于我們如何應用，如何根據題目構造出我們所需要的“抽屜”，也就是數學概念中的集合。這其實是組合學習、組合訓練核心想要解決的問題。此外，組合問題的難點還在于“雜”，因為除了“抽屜原理”外，組合問題的原理還有極端原理、容斥原理、算兩次、染色與賦值法等。也就要求我們在面對組合難題的時候，要找到該題的切入點。這種切入點很雜，難以概括，不同背景的組合問題，切入點可能差別很大。

　　高聯數學競賽培訓課程

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　　北京高中數學聯賽培訓輔導班

　　

 

　　【教授科目】

　　國際數學競賽:AIME;BMO(UKMT全級別競賽);Euclid;;FMMT、DMM、PUMaC、ARML、Awesome Math;ROSS,SuMaC。

　　國內數學競賽:高聯/CMO/丘成桐/

　　【簡單介紹】

　　第31屆中國數學奧林匹克(CMO)金牌

　　2019年北京大學數學科學學院夢想獎學金

　　北京大學優(yōu)秀學生干部

　　高考數學獲得149

　　2020年9月至今,高中數學聯賽課程授課經驗

　　【教學方法】帶領學生沖金

　　

 

　　國內高聯課程

　　高聯目前只有1對1輔導，針對每個參加高中聯賽的學生制定個性化的學習方案。

　　高聯課程大綱