發(fā)布時間:2025-06-21 10:34:34 編輯:DU來源:網(wǎng)絡(luò)
很多人都想知道,數(shù)學(xué)競賽高聯(lián)到底考些什么。如果用比較官方的說法,那就是:高聯(lián)主要考察學(xué)生在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的創(chuàng)新能力、邏輯思維能力以及問題解決能力等多方面能力。但這種說法聽起來未免有些空泛,甚至顯得有些“套路化”,不夠具體,也很難讓人真正感受到高聯(lián)的考察重點。
那我們就來實際一點,直接看看高聯(lián)考試的考點范圍。
高聯(lián)一試考11道題(8道填空題+3道解答題),試卷難題略微高于高考。一句話進行總結(jié):你可以把高聯(lián)一試理解成最基礎(chǔ)的數(shù)競?cè)腴T,也可以理解成更難的高考。其實說白了,這種難度的考試,它只是考察學(xué)生對于知識整理、歸納的一個過程。如果你系統(tǒng)性的學(xué)過數(shù)競,跟著教練刷了很多的題,那么高聯(lián)一試對你來說幾乎沒有難度,你唯一可能丟分的地方,也只有第8道填空題和最后一道解答題了,客觀來說,這兩道壓軸題,還是有一些強度的。有些二試考的還不錯的同學(xué),也有可能在這兩道題上丟分。 一試的難或許不在題目本身,而在于考試時間太短。想要在80分鐘需要做出11道題,平均7分鐘一道,對于絕大多數(shù)參賽選手而言,在時間上都具有很大壓力
那么對于這些細小的知識板塊,我們在學(xué)習(xí)時應(yīng)注意哪些呢?
高聯(lián)一試·數(shù)列
數(shù)列其實一般來講呢,更多是研究一種遞推數(shù)學(xué)。一試階段,圍繞遞推的考察是比較多的,例如“通過遞推求通項”,這是數(shù)列很重要的一個板塊,比如說出題人給了你一個遞推數(shù)列,你要知道這個遞推數(shù)列,怎么去求通項;當然有的時候也需要我們判斷,如何去求通項,這種題型是很常見的。然后這個求通項的話呢,一般而言我們會有一些基礎(chǔ)的這種分析策略,比較常見的是用“數(shù)列代換”,不斷的去往這種簡單的數(shù)列上面去靠。除此之外呢,這種數(shù)列問題,我們也可以考慮使用“數(shù)學(xué)歸納法”,你只要能猜出來數(shù)列通項,基本上你是可以用數(shù)學(xué)歸納法去歸納這個通項的。不過也有例外,因為有些遞推數(shù)列,我們是不太能去求通項的,這種情況下,我們可以直接用數(shù)列去做一些性質(zhì)。這個時候我們往往是有兩種策略的:第一種,我們可以通過遞推關(guān)系去化簡表達式,說白了就是把這個遞推關(guān)系帶回去,帶到數(shù)列里面,看能不能把表達式做一點點整理,就比如說本來是一個“和式”,我?guī)б粋€替代關(guān)系出來,它說不定可以裂項,這樣就能變成一個比較簡單的式子;然后第二種策略,就是我們對這個遞推關(guān)系,做一定的估計,盡管直接求解求不出來,但是我們可以大概取用這種遞推關(guān)系去估一些“不等關(guān)系”或者“相等關(guān)系”。之后我們再用這個不等或相等的關(guān)系,再去做一些性質(zhì)。
高聯(lián)一試·三角函數(shù)
三角函數(shù)這個板塊最大的一個特點:就是它公式很多,繞來繞去的,很容易在解題的過程中把自己給繞進去。所以在解三角函數(shù)題目的時候,我們第一個要注意的地方,是要熟悉這些公式。然后第二個要注意的,你在解題時要有對于三角函數(shù)變形的一個整體思路。
可能有些同學(xué)在初學(xué)三角函數(shù)的時候會發(fā)現(xiàn),很多時候三角函數(shù)的公式,做來做去都是一樣的。比如說,兩個數(shù)的乘積可以積化和差,和差之后,它是不是又可以和差化積?然后,和差化積以后你又可以積化和差。實際上你做來做去,都是在做一個東西,這樣子變形是沒有太多意義的。所以這個時候,我們更多要考慮這個三角函數(shù)內(nèi)部的代換,就是說你要考慮這個三角函數(shù)在一個變形過程中,函數(shù)里面的變量的變換情況。這個往往是高聯(lián)一試考察的一個重點。
高聯(lián)一試·立體幾何
立體幾何本身其實是很難的一個東西,因為很多處理是比較復(fù)雜的。不過幸運的是在高聯(lián)一試的階段,如果出了立體幾何題,通常情況下不會特別難。一試階段,立體幾何的主要考查方向有兩個:第一個是包含一些立體幾何空間上的證明問題,這種題型最近幾年考的比較少了,而且也基本不會出解答題,難度不大;因此,立體幾何的第二個考察方向才是考生需要著重了解的,就是涉及空間量的一些計算。除此之外,對于立體幾何,還有一個分析策略,就是盡可能去把一個立體幾何平面問題,轉(zhuǎn)換成平面幾何,包括平時的期末考試、高考啊,去做這種立體幾何分析的時候呢,我們也可以考慮去借鑒平面幾何的分析策略:我們先假設(shè)把它當作一個平面幾何,然后去找一些性質(zhì),找到性質(zhì)后,我們再轉(zhuǎn)換到立體幾何里面。
舉個小例子:一個圖形里面有一個內(nèi)切球,那我們可以先把它做到內(nèi)切圓,然后看有沒有內(nèi)切圓相關(guān)性質(zhì),如果有的話,那我們能不能再結(jié)合到內(nèi)切球上面。其實說到底,數(shù)競比賽考的不只是題,同時出題人也在考察我們的思維,所以類似這樣的分析策略我們一定要熟練掌握。
高聯(lián)一試·解析幾何
在前面提到過,數(shù)競高聯(lián)一試由八道填空題和三道計算題構(gòu)成。一般來說,計算題部分會圍繞一些硬核知識點進行出題,例如解析幾何。解析幾何的關(guān)鍵點是什么呢?說白了,對于解析幾何,多數(shù)同學(xué)都是能算的。就是你一定要考慮如何才能算更快,這個才是做解析幾何題的一個重點。解析幾何很忌諱把問題算得復(fù)雜。而是應(yīng)該清楚什么東西該求,什么東西不該求。有些東西我們能不能簡單設(shè)出來,到后面再去消掉。“設(shè)而不求”是解決解析幾何問題較為基礎(chǔ)的技巧,也是解析幾何中一種出奇制勝的解題技巧,運用得好可以達到四兩撥千斤的效果。比較典型的例子,當我們在求解圓錐曲線的題目時,經(jīng)常需要將圓錐曲線與直線聯(lián)立方程,并運用韋達定理算出“x1+x2”和“x1x2”,這實際上用的就是“設(shè)而不求”的方法。在近幾年的高聯(lián)考試中,“設(shè)而不求”的解題技巧也逐漸深入到導(dǎo)數(shù)的題目中,在求極值點的過程中往往求不出導(dǎo)函數(shù)等于0的方程的解,這時候我們經(jīng)常借助“設(shè)而不求”的方法虛設(shè)零點,并針對該零點進行單調(diào)性的分析,將復(fù)雜的問題簡單化。“設(shè)而不求法”在課內(nèi)老師就應(yīng)該教過,學(xué)競賽的時候,各學(xué)校競賽教練大概率還會再講一遍,盡管如此,還是有很多同學(xué)掌握得不夠扎實,運用起來更談不上熟練。如果臨近高聯(lián)之時,你對解析幾何知識模塊還是掌握得一般,屆時你可以重點練習(xí)一下這種解題方法(當然,這也是沒辦法的辦法)。
高聯(lián)一試·導(dǎo)數(shù)/不等式
導(dǎo)數(shù)/不等式,在數(shù)競高聯(lián)一試是一個非常重要的考點,如果出現(xiàn),往往是便以一道大題的形式出現(xiàn)(極小概率會出填空題)。
在高聯(lián)一試的階段,導(dǎo)數(shù)考察的方向還是比較多的,比如可能和多項式函數(shù)建立起一定的關(guān)系,包括不等式也是,也可能和多項式函數(shù)建立起一些關(guān)系。不過在一試里,導(dǎo)數(shù)也好,不等式也好,考察的方式會更偏向于技術(shù)性,或者說技巧性。就是說,對于某個式子,我們先要思考如何變形,之后再考慮如何求導(dǎo)。這種類型的題,算是高聯(lián)一試里面相對來說比較難,但是也比較重要的一個重點內(nèi)容。包括在強基考試里,這個東西也考了很多。例如零點問題、含參問題、最值問題。這些問題里面的很多操作,細節(jié)還是很多的,作為考生,我們一定要熟悉各種操作。舉一個典型的例子,就說e^s吧,這種量我們該怎么去處理,怎么樣能讓求導(dǎo)出的式子不是很復(fù)雜,作為數(shù)競生,這些技巧都是需要我們?nèi)フ莆盏摹?/p>
高聯(lián)一試·函數(shù)
函數(shù)不僅性質(zhì)多樣,什么單調(diào)性、奇偶性計算也比初中數(shù)學(xué)更加復(fù)雜,綜合性更強,而且更為關(guān)鍵的是,函數(shù)概念還很抽象。舉一個具體的例子,很多數(shù)競生在剛接觸到y(tǒng)=f(x)這種表達形式的時候,基本上腦子都是懵的。
在高中階段,函數(shù)是一個比較基礎(chǔ)的知識點,但又很關(guān)鍵,如果函數(shù)概念這一塊沒學(xué)透,那么后面的一次函數(shù)、二次函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、偶函數(shù)、奇函數(shù)等內(nèi)容,基本上也是學(xué)不會的。早些年,大概在2015—2019年期間,高聯(lián)一試對于函數(shù)的綜合考察是非常常見的,考點多集中在函數(shù)的基本性質(zhì)、冪指對函數(shù)、三角函數(shù)等。盡管最近兩年高聯(lián)對于函數(shù)的出題數(shù)量有所下滑,但競賽生仍無法忽視函數(shù)這一考點。
高聯(lián)二試呢
如果說,高聯(lián)一試,考生還能嘻嘻哈哈,那么到了二試,絕大多數(shù)競賽生絕對能體會到什么叫“江湖險惡”。高聯(lián)二試只考四道大題,對應(yīng)的四個知識板塊分別是平面幾何、代數(shù)、數(shù)論和組合。且每道題都是壓軸中的壓軸。二試主要考察知識點模塊如下:
高聯(lián)二試·代數(shù)
這里有兩點需要注意:第一,多項式理論雖然也被列入高聯(lián)代數(shù)的考綱范圍之內(nèi),但它的難度較大,在高聯(lián)階段基本不會考,只有到了CMO才會出現(xiàn);第二,除了多項式理論外,其它內(nèi)容高中課內(nèi)都會學(xué)習(xí),只不過高聯(lián)對這一部分的難度要求、熟練度要求都更高。
基本上,在高聯(lián)階段,你代數(shù)這塊,把不等式學(xué)好,大致就可以了。但如果你要準備CMO的考試,則還要著重學(xué)一下復(fù)數(shù)、多項式、函數(shù)方程,如果你的目標只到省一,然后走強基的話,那上面考綱這些內(nèi)容適當了解一下就行。
高聯(lián)二試·數(shù)論
不少同學(xué)在學(xué)習(xí)數(shù)論的時候,都表現(xiàn)得很畏懼。數(shù)論這個東西其實是這樣的,如果你剛接觸數(shù)論,你會覺得數(shù)論是一個很模糊的模塊,就是你會認為數(shù)論和你之前學(xué)的一些知識,不管是工具還是學(xué)習(xí)方法,或是處理方法,都不太一樣。但如果你數(shù)論入坑久了,學(xué)的還比較順利的話,數(shù)論反而是一個做題使用率比較高的東西。而且數(shù)論是不太會出很難的題目,它如果出很難的題目,它也會和別的內(nèi)容做掛鉤,比如說和代數(shù)混在一起。數(shù)論更多的難點還是在于入手,多數(shù)人在前期學(xué)習(xí)數(shù)論的時候,都會有一種“不適應(yīng)”的感覺,就是我前面說的“很模糊”,這個是正常的。這是由于我們初中階段,很多學(xué)校在數(shù)學(xué)教學(xué)中以代數(shù)和幾何為主,教材里很少涉及數(shù)論內(nèi)容,老師也很少講,加之自己從前也幾乎沒怎么接觸過數(shù)論,所以你會覺得數(shù)論異常難學(xué)。不過當你摸清數(shù)論的門檻之后,你會發(fā)現(xiàn)數(shù)論其實并沒有想象的那么難,可能要比代數(shù)更容易學(xué)。
高聯(lián)二試·組合
組合問題,在高聯(lián)二試中往往是作為“壓軸題”出現(xiàn)的,非常具有難度。
在高聯(lián)的階段,比較常見的組合問題可以歸納為兩個類:第一類叫組合計數(shù)問題,是基于課內(nèi)“排列組合”的部分知識,進行拓展和擴充;第二類叫組合雜題,包括組合最值問題、組合構(gòu)造問題、對策與操作等幾個主要類型。在高聯(lián)考試中,高聯(lián)一試會考較復(fù)雜的分類計數(shù),高聯(lián)二試的考試一般以組合雜題為主,且難度很大,涉及范圍廣,形式靈活多變,對數(shù)學(xué)綜合分析的能力要求也更高。關(guān)于組合雜題,我們在學(xué)習(xí)的時候要做到了解基本的組合原理,并以此為基礎(chǔ),拓展思考方法,積累常見的組合構(gòu)造。基礎(chǔ)的組合原理有很多,并且理解起來也都不難,比如“抽屜原理”,國外叫“鴿籠原理”,類似這種概念的原理,理解起來是不難得,但真正的難點在于我們?nèi)绾螒?yīng)用,如何根據(jù)題目構(gòu)造出我們所需要的“抽屜”,也就是數(shù)學(xué)概念中的集合。這其實是組合學(xué)習(xí)、組合訓(xùn)練核心想要解決的問題。此外,組合問題的難點還在于“雜”,因為除了“抽屜原理”外,組合問題的原理還有極端原理、容斥原理、算兩次、染色與賦值法等。也就要求我們在面對組合難題的時候,要找到該題的切入點。這種切入點很雜,難以概括,不同背景的組合問題,切入點可能差別很大。
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北京高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽培訓(xùn)輔導(dǎo)班
【教授科目】
國際數(shù)學(xué)競賽:AIME;BMO(UKMT全級別競賽);Euclid;;FMMT、DMM、PUMaC、ARML、Awesome Math;ROSS,SuMaC。
國內(nèi)數(shù)學(xué)競賽:高聯(lián)/CMO/丘成桐/
【簡單介紹】
第31屆中國數(shù)學(xué)奧林匹克(CMO)金牌
2019年北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院夢想獎學(xué)金
北京大學(xué)優(yōu)秀學(xué)生干部
高考數(shù)學(xué)獲得149
2020年9月至今,高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽課程授課經(jīng)驗
【教學(xué)方法】帶領(lǐng)學(xué)生沖金
國內(nèi)高聯(lián)課程
高聯(lián)目前只有1對1輔導(dǎo),針對每個參加高中聯(lián)賽的學(xué)生制定個性化的學(xué)習(xí)方案。
高聯(lián)課程大綱