恭喜犀牛學(xué)員AMC取得佳績(jī)！從AMC8進(jìn)階AIME路有多遠(yuǎn)？

01

提及數(shù)論，我在這里不得不夸一句，咱們犀牛國(guó)際的知識(shí)體系，是我從教AMC體系以來(lái)銜接最緊密的。

有些機(jī)構(gòu)在對(duì)待AMC8數(shù)論部分都會(huì)輕描淡寫的帶過(guò)，這樣對(duì)孩子的AMC8成績(jī)不會(huì)有什么太大影響（因?yàn)锳MC8中數(shù)論部分考察較淺，用體制內(nèi)或者小學(xué)奧數(shù)的整數(shù)知識(shí)也能解決），但是一旦上升到AMC10這個(gè)平臺(tái)，對(duì)整除運(yùn)用不熟練，對(duì)階乘、末尾數(shù)字這些考試常見(jiàn)的重難點(diǎn)不夠熟悉，咱們孩子進(jìn)入一個(gè)10年級(jí)競(jìng)賽狀態(tài)的速度就會(huì)被這些薄弱項(xiàng)拖慢。諸如此類，同余問(wèn)題、模運(yùn)算等知識(shí)也是學(xué)生進(jìn)入10這個(gè)難度以后容易卡殼的點(diǎn)，這邊也不太建議家長(zhǎng)帶孩子自行預(yù)習(xí)，對(duì)重點(diǎn)知識(shí)的第一印象有時(shí)很重要。

接下來(lái)簡(jiǎn)述下排列組合這部分，如果說(shuō)數(shù)論知識(shí)可以用“整數(shù)問(wèn)題”來(lái)形容，那么排列組合問(wèn)題，我想也可以用“數(shù)數(shù)問(wèn)題”四個(gè)字來(lái)形容。

聽上去很簡(jiǎn)單對(duì)不對(duì)？實(shí)際上數(shù)數(shù)也是一件大有學(xué)問(wèn)的事情。測(cè)度論里有個(gè)名詞叫“可數(shù)性”，今天借用一下，談?wù)勈裁词俏已壑信帕薪M合中的“可數(shù)性”。以一個(gè)學(xué)生的視角來(lái)看，從8晉級(jí)到10，無(wú)非是學(xué)的模型多了幾個(gè)，題目難了一點(diǎn)，比如從“加法、乘法原理，捆綁法插板法”這些簡(jiǎn)單模型，進(jìn)階到一些更為抽象、復(fù)雜的模型。這種視角在我看來(lái)正確但是有偏差，整個(gè)排列組合部分其實(shí)在教我們一件很簡(jiǎn)單的事情，叫做“沿著怎樣的思路分類可以“不重不漏”地?cái)?shù)完所有可能性”，我在自己的課堂上習(xí)慣稱之為“可數(shù)性”，或者說(shuō)從怎樣的邏輯看，此問(wèn)題是“可以數(shù)出來(lái)”的，找到這條邏輯，此題目立即得證。當(dāng)然這種“可數(shù)”并不是說(shuō)要“123456”這樣掰手指頭數(shù)，而是運(yùn)用“加法和乘法”這兩個(gè)最基礎(chǔ)也是最本質(zhì)性的思考問(wèn)題的方式，解決咱們的一道道難題。

這里放一道某年的AMC10壓軸題，讀完題目之后，大家挨個(gè)數(shù)，想必也是能數(shù)出來(lái)的，家長(zhǎng)朋友有興趣也可以試試，乍看之下是一道講因子分解的題目，或者說(shuō)是典型的數(shù)論題目對(duì)不對(duì)？但是這題最快的解法竟然是一種排列組合解法？?。。。ǔＲ?guī)解法大概15分鐘，排列組合解法只需五分鐘）這個(gè)解法只需要兩個(gè)步驟：

第一步：證明因子“3”在六種狀態(tài)的可加性；

第二步：找出六種狀態(tài)下因子分解的可乘性。

這道例題在這兩年的授課中被我多次引用，其實(shí)只是想給學(xué)生說(shuō)明一個(gè)道理：

不要把視角局限在對(duì)題目第一眼的特征上，要開闊思路看待問(wèn)題。

除了知識(shí)儲(chǔ)備以外，在學(xué)習(xí)中“讓學(xué)生開闊思路”，培養(yǎng)“解決陌生問(wèn)題”的能力而非背題能力，我想也是學(xué)生在處理AMC8-10gap的這一階段亟需解決的難點(diǎn)所在。

02